Progressão Aritmética

04-10-2010 16:46

 

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

 

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. 
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. 
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita 

Conceito de Progressão Aritmética PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

 Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r 

Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.)

 

A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

 FÓRMULA:

 

Ex.:

 

Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...)

 

Sn = (a1 + an)N

                2

 

S20 = (a1 + a20)20

                   2

 

a20 = ??

 

a20 = a1 + 19r =

 

a20 = 2 + 19r =

 

a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59

 

S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20

                    2                                       2

 

S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610

              2           2

 

* Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.)

 

Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde  a1 e an são os extremos.

 

Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).

 

Ex.:

 

a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38

 

3, ____,____,____,_____,38

 

a1 =   3an = 3    8n = 6     r = ?

 

a6 = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7

 38= 3 + 5*r

5r= 35

r= 35/5

r= 7

Resposta: (3, 10, 17, 24,31,38)

 

 

* TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS DE UMA PA

                ex:

                               (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22)

                                  

 

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